Układy odniesienia

GEOIDA

1. Definicja Geoidy i systemu wysokości normalnych

Teoretyczna powierzchnia stałego potencjału siły ciężkości, pokrywająca się z powierzchnią mórz i oceanów Ziemi, przedłużona umownie pod lądami.

Kierunek siły ciężkości jest prostopadły do powierzchni geoidy w każdym jej punkcie. Kształt geoidy jest zbliżony do elipsoidy obrotowej, a maksymalne odchylenia od elipsoidy ziemskiej (GRS'80) są rzędu 100 m (na terenach Polski od 28 do 43 metrów). Wyznacza się ją na podstawie pomiarów astronomiczno-geodezyjnych, satelitarnych (altimetria satelitarna), grawimetrycznych i niwelacyjnych.

Przykład przebiegu geoidy prezentuje poniższy rysunek.

Państwowym układem wysokości w Polsce jest układ wysokości normalnych zdefinowanych w oparciu o quasigeoidę Mołodieńskiego, odniesionych do średniego poziomu Morza Bałtyckiego w Zatoce Fińskiej, wyznaczonego dla mareografu w Kronstadzie koło Sankt Petersburga (Federacja Rosyjska).

Przebieg quasigeoidy Mołodieńskiego (quasigeoida przebiega nad geoidą) na obszarach mórz i oceanów pokrywa się z przebiegiem geoidy, na obszarach lądowych (dla Polski) przebieg ten odbiega w granicach 1 - 3 centymetrów dla obszarów położonych do 750 m npm. , dla obszarów położonych wyżej może wynosić od 5-10 centymetrów.

2. Transformacje wysokościowe

Wysokości normalne(na poziomie dokładności niwelacji III klasy lub niższej) mogą być wyznaczane na podstawie wysokości elipsoidalnych numerycznego modelu quasi-geoidy według zależności:

H - Hn = N (B,L)

   N - lokalny odstęp quasi-geoidy od elipsoidy, zależny od połoenia punktu (zamiast współżędnych B, L jako parametrów położenia używa się też współrzędnych płaskich x, y).

Jest on informacją pozyskiwaną aktualnie z numerycznego modelu geoidy niwelacyjnej. Należy wyjaśnić, że wprowadzenie do zastosowań odpowiedniego modelu numerycznego geoidy niwelacyjnej jest kwestią odrębnej decyzji GUGiK. Z wzoru wynika również zależność odwrotna, tzn. dysponując wielkością odstępu V możemy przeliczyć wysokość normalną danego punktu na odpowiadającą wysokość elipsoidalną.

Aktualnie przygotowany przez GUGiK (w Departamencie Geodezji, Kartografii i Systemów Informacji Geograficznej) model geoidy niwelacyjnej (przeznaczony do rozpowszechnienia jako załącznik do Instrukcji Technicznej G-2) jest rerezentowany dyskretną siatką punktów o rozdzielczości: DB = 0,01o , DL = 0,01o. Model zapisany w postaci binarnej będzie obsługiwany przez dołączony na płycie CD program o nazwie GEOIDPOL 2001. Błąd standardowy wyznaczenia wysokości geoidy szacuje się na ok. 0.03 m, natomiast błąd standardowy określenia różnicy wysokości jest rzędu pojedynczych mm/km i spełnia wystarczająco wymagania dokładnościowe III klasy niwelacji. Podstawowa zależność dla niwelacji satelitarnej ma postać:

dHn = dH - dN

   dHn - szukana różnica wysokości normalnych,
   dH - pomierzona różnica wysokości elipsoidalnych (geometrycznych),
   dN - różnica odstępów (wysokości) geoidy na odcinku niwelowanym (dla uporządkowanej pary punktów każda różnica jest definiowana jako wysokość punktu następnego minus wysokość punktu poprzedniego).

3. Zasada interpolacji odstępów w punktach dowolnych

Regularny model geoidy stanowi zbiór odstępów geoidy od elipsoidy określony w punktach siatki geograficzno-geodezyjnej (pokrywającej obszar Polski):

{(Bij, Lij): Bij = 48o + i · dB ≤ 56o, Lij = 13o + j · dL ≤ 25o}

   dB, dL - przyjęte boki oczek siatki
   i, j = 0, 1, 2, ...

Odstępy są określone jako funkcje współrzędnych geodezyjnych Nij = N (Bij , Lij).

Rozpatrzmy sytuację podaną na rysunku. Punkt interpolowany (B, L) wypada w oczku siatki, dla którego:

(Bij = Bi,j+1) ≤ B < (Bi+1,j = Bi+1,j+1)
(Lij = Li,j+1) ≤ L < (Li+1,j = Li+1,j+1)


Interpolacja w "oczku" siatki"

Oznaczmy (zakładamy, że współrzędne są wyrażone w sekundach stopniowych):

u = (B - Bij) / dB, u = (L - Lij) / dL
u = 1- u, v = 1 - v

   u, v, u, v < 1

Odstęp w punkcie (B, L) obliczamy z następującego wzoru interpolacyjnego:

N (B,L) = N1 · u · v + N2 · u · v + N3 · u · v + N4 · u · v

   N1 = N (Bi,j, Li,j)
   N2 = N (Bi+1,j, Li+1,j)
   N3 = N (Bi+1,j+1, Li+1,j+1)
   N4 = N (Bi,j+1, Li,j+1)

są danymi odstępami w punktach narożnych "oczka" siatki.