Transformacje współrzędnych

Standardowa korekta układu "1965"

Standardową korektę stosujemy przy przeliczaniu osnów pomiędzy układem "1965" a układami nowymi, powstałymi z odwzorowań elipsoidy GRS-80 (WGS-84), na przykład, przy przeliczaniu punktów z układu "1992" do układu "1965" lub odwrotnie. Korektę realizujemy w oparciu o punkty dostosowania sieci wyższych klas niż klasa punktów transformowanych. Jeśli więc punktami transformowanymi są punkty osnowy III klasy, wówczas punktami dostosowania mogą być punkty klas: Is (EUREF-POL + POLREF) , I (osnowa pomierzona klasycznie), Is (wyznaczona metodami satelitarnymi), II (wyznaczona metodami klasycznymi), położone nie tylko w obszarze opracowania lecz także w obszarach przyległych.

Całkowita korekta składa się z dwóch etapów:

• Liniowa transformacja konforemna (Helmerta), realizująca przesunięcie, obrót i zmianę skali. Przy przeliczaniu punktów do układu "1965" operacja ta ma na celu wpasowanie punktów, pochodzących np. z obliczeń sieci GPS do punktów osnowy istniejącej, których współrzędne z założenia nie podlegają już zmianom. Przy przeliczaniu punktów z układu "1965" do układu "1992" analogiczna korekta wykonywana na poziomie układu "1992" ma na celu lepsze wpasowanie punktów transformowanych (z archiwalnego układu "1965") do dokładniejszych współrzędnych punktów dostosowania w układzie "1992".
• Korekta post-transformacyjna Hausbrandta, dokonująca usunięcia odchyłek na punktach dostosowania i ich wyrównanie na wszystkich punktach transformowanych.

W każdym przypadku punkty dostosowania powinny być rozmieszczone równomiernie w obszarze istotnie wykraczającym poza obszar punktów dostosowania. Szczegóły w tym względzie są zawarte w Wytycznych Technicznych G-1.10.

W przypadku, gdy transformacji podlegają punkty sytuacyjne mapy (w szczególności treść mapy w zapisie rastrowym lub wektorowym) wówczas korektę można realizować wielomianem stopnia wyższego niż 1, biorąc jednak pod uwagę większą liczbę punktów dostosowania z obszaru pokrywającego z pewnym "zapasem" obszar transformowany, a w szczególności z obszaru całej strefy.

Korekta metodą transformacji Helmerta

Przed wykonaniem korekty dysponujemy dwoma zbiorami współrzędnych tych samych punktów (dostosowania):

Kolejne kroki obliczeń:

1. Współrzędne środków ciężkości zbiorów punktów w obu układach:

2. Centrowanie współrzędnych (przesunięcia układów do środków ciężkości):

3. Współczynniki transformacji:

4. Wzory transformacyjne:

5. Poprawki:

6. Błąd transformacji (średniokwadratowa odchyłka wypadkowa punktu):

Błąd transformacji nie powinien przekraczać wielkości dopuszczalnego błędu położenia punktu µP w danej klasie sieci.

Z wartości współczynników transformacji C, S możemy wyznaczyć zmianę skali i skręcenie:

Uwaga:
Przy transformacji korekcyjnej układu "1965", kąt skręcenia α będzie na ogół kątem na tyle małym, że słuszne staje się uproszczenie cos(α) ≈ 1 oraz sin (α) ≈ α przenoszone odpowiednio na wzory transformacyjne.

Korekta post-transformacyjna Hausbrandta

Korekta polega na tym, że współrzędne punktów dostosowania w układzie wtórnym pozostawia się w takiej postaci w jakiej były przyjęte do transformacji (można powiedzieć inaczej, że od współrzędnych transformowanych odejmuje się wartości poprawek powracając do wartości współrzędnych katalogowych), natomiast wszystkim pozostałym punktom transformowanym przydziela się poprawki wyznaczone przy zastosowaniu następujących wzorów interpolacyjnych:

Jak widać, przedstawione wzory mają podobieństwo do średnich ważonych, gdzie wagi są odwrotnościami kwadratów odległości danego punktu o wskaźniku j (w zbiorze wszystkich punktów transformowanych) od punktu dostosowania o wskaźniku i (w zbiorze punktów dostosowania). Długości dij obliczamy na podstawie współrzędnych pierwotnych. Wielkości poprawek odejmujemy od współrzędnych po transformacji.

Uwaga:
W przypadku, gdy punkt transformowany jednoczy się z pewnym punktem dostosowania wówczas formalnie odległość d_ij = 0. Celem uniknięcia przypadku dzielenia przez zero, do każdej obliczanej długości dodajemy małą liczbę dodatnią, np. 0,00001 m, która nie będzie mieć istotnego wpływu na interpolowane wartości poprawek i stanowi tylko numeryczny parametr regularyzacyjny. Otrzymana odpowiednio duża waga oznacza, że poprawki do współrzędnych danego punktu będą się praktycznie równać poprawkom odpowiedniego punktu dostosowania.